Aumo6425's Blog

Hipotezė apie proporciją. Puasoninė aproksimacija

aumo6425 — Mon, 30 Nov 2009 16:53:12 +0000

Kartais žinoma, kad tiriamą savybę turinčių elementų visoje populiacijoje dalis yra labai maža (pvz., 0,1% ir pan. ). Tuomet normalioji proporcijos aproksimacija nebetinka ir vietoje jos taikoma puasoninė aproksimacija. Tarkime, kad stebime binominį atsitiktinį dydį su nežinomu parametru . Atsitiktinės imties visi atsitiktiniai dydžiai nepriklausomi ir turi tą patį skirstinį kaip ir . Imties elementų suma turi binominį skirstinį su parametrais ir , t. y. . Mažoms reikšmėms statistiką galima pakeisti atsitiktiniu dydžiu , turinčiu Puasono skirstinį su parametru .

Jegigu hipotezė apie parametro reikšmę teisinga, tai ir galime kintamajam konstruoti kritines sritis. Tačiau šiuo atveju patogiau kriterijų formuluoti p-reikšmėms.

Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys. Dvireikšmių duomenų aibę sudaro nuliai (matuotos savybės nerasta) ir vienetai (matuota savybė rasta).
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

ir , čia , o – vienetų imtyje skaičius.

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu arba . Kitais atvejais hipotezė neatmetama

Vienpusėms alternatyvoms naudojamos tos pačios tikimybės, tik jos lyginamos su . Sprendimo taisyklės, esant skirtingoms alternatyvoms, pateikiamos lentelėje:

Alternatyva	atmetama, jeigu	neatmetama, jeigu
	arba	ir
a ' title='p > a ' class='latex' />

Pavyzdys. Tam tikra liga serga 0,05% visos populiacijos. Naujus skiepus išbandė 3000 savanorių. Iš jų susirgo vienas. Ar skiepai statistiškai reikšmingai sumažino riziką susirgti? ().

Sprendimas. Formuluojame statistinę hipotezę:

: ,
: .

Kadangi , , o , tai , kai teisinga. Todėl

0,05 ' title='P(Y \le 1) = e^{-1,5} + 1,5e^{-1,5} = 0,5578 > 0,05 ' class='latex' />.

Taigi hipotezės neatmetame. Neturime pagrindo teigti, kad skiepai statistiškai reikšmingai sumažino riziką susirgti, todėl jų efektyvumas abejotinas.

Taigi hipotezė apie proporciją lygybę skaičiui skirta, kai imtis didelė.

Hipotezė apie proporciją. Normalioji aproksimacija

aumo6425 — Mon, 30 Nov 2009 15:42:27 +0000

Tarkime, kad per rinkimus politinis judėjimas „Rytai – Vakarai“ surinko 15% balsų. Praėjus dvejiems metams po rinkimų, judėjimo vadovai nori žinoti, ar rinkėjų nuotaikos pasikeitė. Apklausus 1000 rinkėjų, paaiškėjo, kad šimtas iš jų balsuotų už judėjimą „Rytai – Vakarai“. Ar rinkėjų požiūris į judėjimą pasikeitė? Išvadą norime padaryti apie visą rinkėjų populiaciją. Todėl vertindami ankstesnės rėmėjų dalies (15%) ir imties rėmėjų (100 iš 1000, t. y. 10% skirtumą), turime atsižvelgti į imties atsitiktinumą.

Visų pirma išsiaiškinkime, kokį atsitiktinį dydį stebime. Kiekvienas paklaustasis arba remia judėjimą, arba neremia. Tikimybė, kad atsitiktinai parinktas apklaustasis rems judėjimą, lygi visų remiančiųjų populiacijoje daliai. Pažymėkime ją simboliu . Pavyzdžiui, jeigu populiaciją sudaro 3 000 000 rinkėjų, iš kurių 600 000 judėjimą remia, tai tikimybė , kad atsitiktinai parinktas rinkėjas yra judėjimo rėmėjas, lygi 600 000/3 000 000 = 0,2. Tegul yra atsitiktinis dydis, įgyjantis dvi reikšmes: su tikimybe (kai apklaustas rinkėjas judėjimą remia) arba su tikimybe (kai apklaustas rinkėjas judėjimą neremia). Taigi stebime binominį atsitiktinį dydį su nežinomu parametru . Atsitiktinę imtį sudaro nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, turintys tokį pat binominį skirstinį kaip ir (ėmimas turi būti grąžintinis). Atsitiktinių dydžių suma turi binominį skirstinį su parametrais ir , t. y. .

Statistiką galima taikyti hipotezėms tikrinti (tai ir daroma mažoms imtims). Tačiau dideliems sunku apskaičiuoti binominio atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybes. Todėl tuo atveju naudojama statistikos aproksimacija. Jeigu spėjama reikšmė, palyginti su , nėra labai mažas skaičius, taikoma normalioji aproksimacija, t. y. statistika keičiama nedaug nuo jos besiskiriančiu normaliuoju atsitiktiniu dydžiu. Iš centrinės ribinės teoremos išplaukia, kad

Kadangi , o , tai perrašome taip:

Atsitiktinis dydis įgyja tik dvi reikšmes – 0 ir 1, todėl yra skaičius tarp 0 ir 1, atitinkantis rėmėjų imtyje skaičių. Tai yra ne kas kita kaip įvertis, todėl labiau priimta veitoje vartoti . Taigi

Tarkime, . Jeigu teisinga, galime pasinaudoti asimptotiniu normalumu.

Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys. Dvireikšmių duomenų aibę sudaro nuliai (matuotos savybės nerasta) ir vienetai (matuota savybė rasta).
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

, čia yra imties vienetų skaičius, .

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu z_{\alpha/2} ' title='|Z|>z_{\alpha/2} ' class='latex' />. Čia yra standartinio normaliojo skirstinio lygmens kritinė reikšmė. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Vienpusėms alternatyvoms naudojama ta pati statistika . Sprendimo taisyklės, esant skirtingoms alternatyvoms, pateikiamos lentelėje:

Alternatyva	atmetama, jeigu	neatmetama, jeigu
	z_{\alpha/2} ' title='\|Z\|>z_{\alpha/2} ' class='latex' />
a ' title='p > a ' class='latex' />	z_{\alpha} ' title='Z>z_{\alpha} ' class='latex' />

Pavyzdys.Prieš pradėdami masinę dietinių „mėsainių su lašinių kvapu“ gamybą, užkandinė „Mak-kauskas“ paprašė 100 lankytojų įvertinti naująjį produktą. Teigiamai naująjį produktą įvertino 63 lankytojai. Ar šie duomenys neprieštarauja naujojo mėsainio kūrėjo reklaminiam teiginiui, kad pagamintas produktas patiks bent dviem iš trijų lankytojų? ().

Sprendimas. Formuluojame statistinę hipotezę:

: ,
: .

Apskaičiuojame . Kadangi 2,326 = -z_{0,01} ' title='Z = -0,777 > 2,326 = -z_{0,01} ' class='latex' />, tai hipotezės neatmetame. Imties duomenys neprieštarauja reklaminiam teiginiui.

Pastaba. Nėra vieningos nuomonės, kokioms ir reikšmėms normalioji aproksimacija yra pakankamai tiksli. Kartais reikalaujama, kad tarp ir galiotų ryšys:

Pavyzdžiui, jeigu , tai ; jeigu , tai . Kartais reikalaujama, kad .

Hipotezė apie koreliacijos koeficiento lygybę skaičiui

aumo6425 — Mon, 30 Nov 2009 12:24:26 +0000

Tarkime, stebime intervalinių kintamųjų porą , gautą matuojant dvimatį normalųjį atsitiktinį dydį. Atsitiktinę imtį sudaro poros . Norime nustatyti, ar koreliacija tarp ir lygi skaičiui (). Kadangi koreliacijos įvertis yra Pirsono koreliacijos koeficientas , tai spręsdami turime lyginti jo realizaciją su . Situacija, palyginti su hipotezę apie koreliacijos koeficiento lygybę nuliui, pasikeitė. Kadangi galioja tik tuo atveju, kai . Jeigu , tai statistika turi asimetrišką skirstinį. Todėl jai netinka nei normalioji, nei Stjundento aproksimacija (abi jos simetriškos). Išeitį 1915 metais pasiūlė R. A. Fišeris. Asimetriją galima panaikinti transformuojant koreliacijos koeficientą.

Fišerio transformacija .

Transformuotoji statistika apytiksliai turi normalųjį skirstinį, kurio dispersija yra . Analogiškai transformuojame . Kai galioja ,

Kritinės sritys konstruojamos remiantis šia formule.

Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys. Intervalinių duomenų porinė imtis gauta matuojant dvimatį normalųjį atsitiktinį dydį , 3 ' title='n > 3 ' class='latex' />.
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

Čia yra koreliacijos koeficiento realizacija, skaičiuojama pagal formulę:

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi ir koreliacija statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu z_{\alpha/2} ' title='|Z|>z_{\alpha/2} ' class='latex' />. Čia yra standartinio normaliojo skirstinio lygmens kritinė reikšmė. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Vienpusėms alternatyvoms naudojama ta pati statistika . Sprendimo taisyklės, esant skirtingoms alternatyvoms, pateikiamos lentelėje:

Alternatyva	atmetama, jeigu	neatmetama, jeigu
	z_{\alpha/2} ' title='\|Z\|>z_{\alpha/2} ' class='latex' />
a ' title='\varrho > a ' class='latex' />	z_{\alpha} ' title='Z>z_{\alpha} ' class='latex' />

Pavyzdys. Siuvykla kas mėnesį dalį lėšų išleidžia savo produkcijai reklamuoti. Jo direkcija nori sužinoti, kokia išleidžiamų reklamai pinigų ir parduodamos produkcijos kiekių priklausomybė. Priklausomybė laikoma pakankamai stipria, jeigu koreliacija ne mažesnė už 0,6. Ištyrus 12 mėnesių duomenis, gauta . ()

Formuluojame statistinę hipotezę:

: ,
: .

Randame , , . Kadangi , tai neatmetame. Duomenys neleidžia teigti, kad koreliacija yra statistiškai reikšmingai mažesnė už 0,6.

Hipotezė apie koreliacijos koeficiento lygybę nuliui

aumo6425 — Mon, 30 Nov 2009 11:12:16 +0000

Tarkime, stebime intervalinių kintamųjų porą , gautą matuojant dvimatį normalųjį atsitiktinį dydį. Atsitiktinę imtį sudaro poros . Norime nustatyti, ar kintamieji ir koreliuoja. Atsitiktinių dydžių tiesinę priklausomybę matuoja koreliacijos koeficientas , kurio įvertis :

Nusistovėjusios vartotojų normos, kurios rodo, kokią koreliacijos koeficiento reikšmę laikyti didele, sudarytos neatsižvelgiant į imties didumą, todėl lieka neaišku, ar koreliacija statistiškai reikšmingai skiriasi nuo nulio. Taigi, pamėginsime šią problemą panagrinėti.

Konstruojam kritines sritis remiantis tuo, kad

turi Stjudento skirstinį su laisvės laipsnių, jeigu .

Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys. Intervalinių duomenų imtis gauta matuojant dvimatį normalųjį atsitiktinį dydį .
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

Čia yra koreliacijos koeficiento realizacija, skaičiuojama pagal formulę:

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi ir statistiškai reikšmingai koreliuoja), jeigu t_{\alpha/2}(n - 2) ' title='|T|>t_{\alpha/2}(n - 2) ' class='latex' />. Čia yra Stjudento skirstinio su laisvės laipsnių lygmens kritinė reikšmė. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Vienpusėms alternatyvoms naudojama ta pati statistika . Sprendimo taisyklės, esant skirtingoms alternatyvoms, pateikiamos lentelėje:

Alternatyva	atmetama, jeigu	neatmetama, jeigu
	t_{\alpha/2}(n-2) ' title='\|T\|>t_{\alpha/2}(n-2) ' class='latex' />
0' title='\varrho > 0' class='latex' />	t_{\alpha}(n-2) ' title='T>t_{\alpha}(n-2) ' class='latex' />

Pavyzdys. I dalis. Firma nori įvertinti tiesinę priklausomybę tarp pardavėjų skaičiaus ir parduodamos produkcijos kiekio , matuoto tonomis per mėnesį. Duomenys:

*Metai*	X	Y	*Metai*	X	Y
90	10	130	95	24	295
91	13	160	96	25	339
92	15	234	97	27	320
93	17	240	98	30	360
94	20	263	99	32	380

Apskaičiuojame koreliacijos koeficiento įverčio realizaciją :

, , , , ,

Gavome, kad parduodamos produkcijos kiekis stipriai tiesiškai priklauso nuo pardavėjų skaičiaus (Kadangi koreliacijos koeficientas teigimas, tai priklausomybė yra tiesioginė – kuo daugiau pardavėjų, tuo daugiau parduodama).

II dalis. Patikrinsime, ar I daly gauta koreliacija , statistiškai reikšmingai skiriasi nuo . Tegul . Statistinė hipotezė:

: ,
: .

Apskaičiuojame

Kadangi 3,355 = t_{0,005}(8)' title='|T| = 6,4146 > 3,355 = t_{0,005}(8)' class='latex' />, tai atmetama. Koreliacija tarp pardavėjų skaičiaus ir parduodamo produkcijos kiekio statistiškai reikšminga.

Pastaba. Tvirtai nusistovėjusi tradicija hipotezes apie koreliacijos keoficientą nagrinėti kartu su vienos imties kriterijais, nors koreliacijos keoficientas yra dviejų imčių elgesį nusakantis dydis. Taigi, nagrinėtos hipotezės apie koreliacijos koeficiento lygybę nuliui pagrindinis bruožas yra ne viena imtis (porinė ar ne), o tai, kad hipotezės formuluojamos vienam parametrui ir turime tik vieną empirinį to parametro įvertį.

Hipotezė apie dispersijos lygybę skaičiui, kai vidurkis nežinomas

aumo6425 — Thu, 26 Nov 2009 21:59:39 +0000

Tirsime situaciją, kai stebimo dydžio vidurkis nežinomas. Pavyzdžiui, dispersija svarbi: nustatant laiką, per kurį po iškvietimo atvyksta greitoji pagalba; vertinant produkto kalorijų kiekį; kontroliuojant gaminamų termometrų tikslumą; pasirenkant stabilios kainos vertybinius popierius ir pan.

Tarkime, stebime normalųjį atsitiktinį dydį . Populiacijos vidurkis ir dispersija nežinomi. Norime patikrinti hipotezę , čia yra fiksuotas skaičius. Kritinė sritis sudaroma remiantis tuo, kad statistika

turi skirstinį su laisvės laipsnių.

Dvipusės alternatyvos kritinę sritį sudaro aibė

čia yra skirstinio su laisvės laipsnių lygmens kritinė reikšmė. Analogiškai sudaromos kritinės sritys vienpusių alternatyvų atveju. Nagrinėjamojo uždavinio sprendimo etapai konkrečiai imties realizacijai yra tokie:

Duomenys. Intervalinių duomenų imtis gauta matuojant normalųjį atsitiktinį dydį . Vidurkis ir dispersija nežinomi.
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu \chi^2_{\alpha/2}(n - 1) ' title='T>\chi^2_{\alpha/2}(n - 1) ' class='latex' /> arba . Čia ir yra skirstinio su laisvės laipsnių kritinės reikšmės. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Pavyzdys. Taikant naują mokymo metodą 21 studentui, gautas baigiamojo egzamino testo rezultatų standartinis nuokrypis yra 4 balai. Ar galima teigti, kad naujojo mokymo metodo rezultatų sklaida skiriasi nuo senojo metodo rezultatų, jeigu žinoma, kad, taikant ankstesnįjį metodą, rezultatų standartinis nuokrypis buvo 5 balai? ().

Sprendimas

Statistinė hipotezė:

: ,
: .

Randame

Kadangi , tai neatmetama. Taigi naujojo ir senojo metodų rezultatų sklaidų skirtumas statistiškai nereikšmingas.

Hipotezė apie dispersijos lygybę skaičiui, kai vidurkis žinomas

aumo6425 — Thu, 26 Nov 2009 21:18:44 +0000

Kontroliuojant kokybę, svarbu atsižvelgti į rezultatų sklaidą. Tarkime, gamykla, gamindama 5 colių vinis, pusę vinių pagamino 3 colių, o pusę 7 colių. Vidutinis vinies ilgis yra 5 coliai, tačiau pirkėjai nebus patenkinti. Dar aktualesnė ši problema vaistų gamyboje – kažin ar kas sutiks vartoti vaistų ampules, kuriose vidutiniškai preparato yra tiek, kiek reikia, tačiau kartais jo yra du kart daugiau, o kartais perpus mažiau, nei reikia. Abiem minėtais atvejais gaminių kokybę nusako populiacijos dispersija.

Hipotezės apie dispersijos reikšmę tikrinamos normaliai pasiskirsčiusiems kintamiesiems. Tarkime, stebime normalųjį atsitiktinį dydį . Populiacijos vidurkis žinomas, o dispersija nežinoma. Norime patikrinti hipotezę , čia yra fiksuotas skaičius. Kritinė sritis sudaroma remiantis tuo, kad visiems

, kai .

Todėl statistika

turi skirstinį su laisvės laipsnių. Kadangi skirstinys nėra simetrinis, tai dvipusės alternatyvos kritinę sritį sudaro aibė , čia yra skirstinio su laisvės laipsnių lygmens kritinė reikšmė.

Analogiškai sudaromos kritinės sritys vienpusių alternatyvų atveju. Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys. Intervalinių duomenų imtis gauta matuojant normalųjį atsitiktinį dydį . Vidurkis – žinomas, dispersija nežinoma.
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu \chi^2_{\alpha/2}(n) ' title='T>\chi^2_{\alpha/2}(n) ' class='latex' /> arba . Čia ir yra skirstinio su laisvės laipsnių kritinės reikšmės. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Pavyzdys. Prieš pradėdamas eksperimentą, psichologas nori sudaryti grupes iš populiacijos, kurios vidutinis testo rezultatas būtų 85 balai, o standartinis nuokrypis – 10 balų. Vienos iš sudarytų grupių testo rezultatai yra: 85, 92, 93, 90, 81, 78, 76, 78, 77, 80, 89, 92, 94 (vidurkis – 85 balai). Ar galima manyti, kad ši grupė sudaryta iš populiacijos, kurios , atstovų?

Sprendimas

Statistinė hipotezė:

: ,
: .

Randame

Kadangi , tai neatmetama. Taigi galime manyti, kad grupė sudaryta iš populiacijos su norimomis savybėmis atstovų.

Hipotezė apie vidurkio lygybę skaičiui, kai dispersija nežinoma

aumo6425 — Thu, 26 Nov 2009 19:40:52 +0000

Tarkime, kad:

žinome, kiek vidutiniškai santuokoje išgyvena Zanzibaro gyventojai, ir norime atsakyti į klausimą, ar lietuviai šiuo aspektu skiriasi nuo zanzibaričių;
reklama teigia, kad laikantis naujos dietos vidutiniškai per mėnesį numetama be mažiau 3 kg svorio, o konkurencijos tarnyba nori patikrinti, ar reklama nemeluoja;
prieš penkerius metus daryti išsamūs tyrimai parodė, kad vidutinis pradinukų matematikos žinių testo įvertinimas yra 70,15 balo (pagal 100 balų skalę), o norime žinoti, ar dabartinių pradinukų žinių įvertinimas pakito.

Visais minėtais atvejais reikia atsakyti į klausimą, ar nežinomas populiacijos vidurkis skiriasi nuo tam tikro skaičiaus. Populiacijos dispersija nežinoma. Statistiniams tyrimams tokia situacija ypač dažna. Nežinoma populiacijos dispersija keičiama jos įverčiu . Tačiau tada reikia atsižvelgti į atsitiktinę imties prigimtį ir galimą dispersijos įverčio skirtumą nuo tikrosios populiacijos dispersijos.

Tarkime, stebime normalųjį atsitiktinį dydį . Populiacijos dispersijos ir vidurkis nežinomi. Norime patikrinti hipotezę : , čia fiksuotas skaičius. Kritinė sritis sudaroma remiantis tuo, kad

turi Stjudento skirstinį su laisvės laipsnių, kai . Stjudento skirstinys simetriškas nulio atžvilgiu, todėl esant dvipusei alternatyvai : kritinė sritis yra aibė , čia yra Stjudento skirstinio su laisvės laipsnių lygmens kritinė reikšmė.

Analogiškai sudaromos kritinė sritys vienpusių alternatyvų atveju. Nagrinėjamojo uždavinio sprendimo etapai tokie:

Duomenys. Intervalinių duomenų imtis gauta matuojant normalųjį atsitiktinį dydį . Vidurkis ir dispersija nežinomi.
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Hipotezė atmetama (taigi statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ), jeigu t_{\alpha/2}(n - 1) ' title='|t|>t_{\alpha/2}(n - 1) ' class='latex' />. Čia yra Stjudento skirstinio su laisvės laipsnių lygmens kritinė reikšmė. Hipotezė neatmetama, jeigu .

Kritines reikšmes galima rasti iš tam tikros lentelės.

Pavyzdys. Edukologas nori sužinoti, ar teisingi dėstytojų skundai, kad kasmet pirmakursiai vis negabesni. Prieš penkerius metus pirmakursių standartinio gabumų testo rezultatų vidurkis buvo 80 balų. Apklausus 25 šių metų pirmakursius, gauta . Tarkime, kad reikšmingumo lygmuo . Formuluojame statistinę hipotezę

: ,
: .

Apskaičiuojame

Kadangi , tai neatmetame. Taigi, nėra pagrindo teigti, kad šiuolaikiniai pirmakursiai gabumais statistiškai reikšmingai skiriasi nuo ankstesnių metų pirmakursių.

Hipotezė apie vidurkio lygybę skaičiui, kai dispersija žinoma

aumo6425 — Thu, 26 Nov 2009 16:51:19 +0000

Tarkime, kad stebime normalųjį atsitiktinį dydį . Populiacijos dispersija žinoma, o vidurkis nežinomas. Reikia patikrinti hipotezę , čia yra fiksuotas skaičius. Norėdami priimti sprendimą, turime fiksuotam reikšmingumo lygmeniui parinkti tinkamą statistiką ir sukonstruoti kritinę sritį. Pats paprasčiausias nežinomo vidurkio įvertis yra statistika . Jeigu imties vidurkio realizacijos mažai skiriasi nuo (atitinkama statistikos reikšmė nepakliūna į kritinę sritį), tai hipotezę priimame, priešingu atveju hipotezės priimti negalime. Kritinė sritis sudaroma remiantis tuo, kad

Tarkime, alternatyva . Tuomet kritinę sritį sudaro aibė , čia yra lygmens standartinio normaliojo atsitiktinio dydžio kritinė reikšmė. Iš tikrųjų pagal kritinės reikšmės apibrėžimą:

(atmesti , kai teisinga) = , kai = , kai

Analogiškai sudaromos kritinės sritys vienpusių alternatyvų atveju. Apibendrindami šiuos pastebėjimus, suformuluosime nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapus:

Duomenys. Intervalinių duomenų imtis gauta matuojant normalųjį atsitiktinį dydį . Vidurkis – nežinomas, dispersija žinoma.
Statistinė hipotezė:
: ,
: .
Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

Pateikiame keletą suapvalintų reikšmių:

; ; ; ; .

Pavyzdys. Sociologas nori nustatyti, ar požiūris į seksualines mažumas pasikeitė per praėjusius 3o metų. Vidutinis 1970 metų nepakantumo testo rezultatas buvo 150 balų, . Kuo didesnė naudojamo testo reikšmė, tuo didesnis nepakantumas. Apklausus 1999 metais 49 atsitiktinai parinktus žmones, paaiškėjo, kad . Padaręs prielaidą, kad , ir pasirinkęs reikšmingumo lygmenį , sociologas suformulavo hipotezę:

: ,
: .

Apskaičiuojame .

Kadangi 1,96 = z_{0,025} = z_{0,05/2} ' title='|Z| = |-5,6| = 5,6 > 1,96 = z_{0,025} = z_{0,05/2} ' class='latex' />, tai atmetama. Taigi 1999 metais vidutinis žmonių požiūris į seksualines mažumas statistiškai skiriasi nuo 1970 metų požiūrio.

Čia reiktų atkreipti dėmesį, kad nesistengiama parodyti, kad 138 skiriasi nuo 150 (tai akivaizdu). Konstatuojama, kad skirtumas tarp šių skaičių toks didelis, kad mažai tikėtina, jog tai įvyko dėl imties atsitiktinumo. Taigi, su didele tikimybe galime teigti, kad šis skirtumas būdingas ne tik šiai konkrečiai imčiai, bet ir pačiai tirtai populiacijai.

Mano – Vitnio – Vilkoksono rangų sumų kriterijus nerpiklausomoms imtims (2)

aumo6425 — Tue, 10 Nov 2009 19:37:56 +0000

Didelių imčių atvejis ( 20, n_2 > 20 ' title='n_1 > 20, n_2 > 20 ' class='latex' />)

Duomenys. Dviejų tolydžiųjų nepriklausomų kintamųjų ir stebėjimai yra ir . Duomenys gauti matavimams naudojant santykių, intervalų arba rangų matavimų skalę.
Statistinė hipotezė:
H_0: kintamųjų skirstiniai vienodi
H_1: kintamųjų skirstiniai nėra vienodi
Kriterijaus statistika.

Apskaičiuojame statistikas:

, čia

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Jei z_{\alpha/2} ' title='|Z|>z_{\alpha/2} ' class='latex' />, tai hipotezę atmetame. Priešingu atveju – neatmetame.

Pavyzdys. Tikrinama, ar rytinės grupės (24) ir vakarinės grupės (25) studentų vidurkiai priklauso nuo mokymosi laiko. ()

Sprendimas: Tarkime, yra rytinės grupės vertinimai, – vakarinės.

Formuluojame statistinę hipotezę:

H_0: X ir Y skirstiniai vienodi
H_1: X ir Y skirstiniai nėra vienodi

Iš pateiktų duomenų (nepateikiau, nes labai daug duomenų) sudarome variacinę eilutę, nariams priskiriame rangus ir apskaičiuojame:

, , , , tai . Kadangi , hipotezės atmesti nėra pagrindo. Tai paros laikas mokymuisi įtakos neturėjo.

Mano – Vitnio – Vilkoksono rangų sumų kriterijus nepriklausomoms imtims (1)

aumo6425 — Tue, 10 Nov 2009 18:50:46 +0000

Dviem nepriklausomoms imtims galima taikyti Stjudento kriterijų (kai reikia išsiaiškinti: ar moterų ekonomisčių vidutinis atlyginimas yra toks pats kaip ir vyrų ekonomistų). Tačiau, norint taikyti šį kriterijų, kintamieji turi būti normalieji. Pavyzdžiui, turėtume patikrinti prielaidą, kad kintamojo – atlyginimo ekonomisčių ir ekonomistų populiacijose skirstinys yra normalusis. Normalumo sąlyga ne visada tenkinama, be to, jei imtys mažos, šios sąlygos patikrinti neįmanoma.

Man0 – Vitnio – Vilkoksono krietrijus yra Stjudento kriterijaus dviem nepriklausomoms imtims neparametrinis analogas. Šis kriterijus galingiausias, kai kintamųjų skirstiniai skiriasi tik postūmio parametru, t. y. skirstinys sutampa su skirstiniu.Taigi, būtent tokiems duomenims jį rekomenduojama taikyti.

Pastaba. Tai, kad turi tokį pat skirstinį kaip , nereiškia, kad . Kintamieji ir nepriklausomi, taigi gali įgyti įvairias reikšmes nepriklausomai nuo to, kokias įgyja . Tačiau tikimybė, kad įgis reikšmę, mažesnę už t, yra lygi tikimybei, kad įgis reikšmę, mažesnę už t, t. y. ir „valdo“ toks pats atsitiktinumas.

Mažų imčių atvejis ()

Duomenys. Dviejų tolydžiųjų nepriklausomų kintamųjų ir stebėjimai yra ir . Duomenys gauti matavimams naudojant santykių, intervalų arba rangų matavimų skalę.
Statistinė hipotezė:
H_0: kintamųjų skirstiniai vienodi
H_1: kintamųjų skirstiniai nėra vienodi
Kriterijaus statistika.

Dvi imtis sujungiame į vieną išdėstytdami jų narius didėjimo tvarka.
Eilutės naraiams priskiriame rangus.
Apskaičiuojame statistikas:

čia ir – rangų, priskirtų atitinkamai pirmosios ir antrosios imčių nariams, suma.

(Statistika parodo, kiek pirmos imties narių yra kairiau už kiekvieną antros imties narį.)

4. Sprendimo priėmimos taisyklė. Tarkime, reikšmingumo lygmuo yra . Iš lentelių (kur surašyta Mano – Vitnio – Vilkoksono kriterijaus vienpusių ir dvipusių alternatyvų kritinės reikšmės [V. Čekanavičius ir G. Murauskas "Statistika ir jos taikymai" II 262 - 263 psl.]) randame ir atitinkančias dvipusio kriterijaus kritines reikšmes. Jeigu ne mažesnis už didesniąją reikšmę arba ne didesnis už mažesniąją reikšmę, tai nulinė hipotezė atmetama. Priešingu atveju – neatmetama.

Pavyzdys. Tikrinama, ar dviejų traukinių maršrutų vėluoja vienodai. Surinkti duomenys – pavėluotos minutės:

„I maršrutas“: 37, 1, 26, 23, 41, 8, 39

„II maršrutas“: 46, 42, 53, 44, 30

(Reikšmingumo lygmuo )

Sprendimas: Tarkime, yra pirmojo maršruto traukinių vėlavimo laikas, – antrojo.

Formuluojame statistinę hipotezę:

H_0: X ir Y skirstiniai vienodi
H_1: X ir Y skirstiniai nėra vienodi

Sudarome variacinę eilutę, nariams priskiriame rangus ir apskaičiuojame statistikas:

Lyginame su lentelės kritinėmis reikšmėmis . Kadangi 30 ' title='32 > 30 ' class='latex' />, nulinę hipotezę atmetame. Taigi, traukiniai vėluoja nevienodai.